谈谈二进制——定点数与浮点数
0. 概要
二进制系列文章已经写到第五篇了，不出意外的话，这应该会是二进制系列的最后一篇。我们先来罗列一下前四篇：
其中，在上一篇里，我们认识了四种机器数，它们各司其职，但总的来说，有一个特点，就是在对计算机里的正负号做文章。今天介绍的定点数和浮点数，则是对小数点做文章。
上一篇文章的开头，我们说到，计算机中只能存储数字，因此需要用0和1来表示正负，同样的，计算机中的小数点，也要用特殊的形式来表示，共有两种，即本文所要讲的定点数和浮点数。
1. 定点数
所谓定点数，就是指小数点的位置是固定的，约定小数点在某一个位置上，因此，机器在处理定点数时，并不存储它的小数点。使用定点数的机器，被称为定点机。当然了，现代计算机一般只要有运算部件，都会提供对定点数运算的支持。
虽然理论上，定点数的小数点的位置可以任意规定，但通常只会用定点数表示纯小数或整数，当表示纯小数时，小数约定在上一篇文章里反复提及的符号位和数值部分之间，同理，表示整数时，则在数值部分的后面。下图展示了定点小数和定点整数的结构：
为什么通常只用定点数表示纯小数或整数呢？因为上面我们提到的，定点机在存储定点数时，并不存储小数点，因此我们的数字在定点机中是一串看上去像整数的东西，如果我们存入了非纯小数或整数，它们的计算结果就会很容易出现问题，譬如1.23和12.3，在定点机中它们没有小数点，都是123，那么它们在做加、减、除后的结果都是不对的，即便是乘法，其结果也需要我们自己再去算它的小数点位。
而纯小数或整数处理起来就方便多了，譬如整数，它的加、减、乘三种运算结果都是整数，而除法如果遇到除不尽的情况，一般也会取余处理。纯小数同理，但比整数稍微麻烦一点，主要是加法和除法，会有益处的风险，此时一些定点机可能会直接抛出异常。
定点机由于它的特性，在硬件层面设计会更简单。
2. 浮点数
浮点数是大家比较熟悉的一个词汇，也就是我们平时编程语言中的float和double。前面定点数由于本身性质的限制，难以处理复杂的非纯小数和整数，此时就需要浮点数来处理了。
所谓浮点，与定点相对，就是小数点是浮动的，不固定的，它的形式有点像我们熟悉的科学计数法，譬如12.34这个数，可以写成下面几种形式：
12.34 = 1.234\times10^1 = 0.1234\times10^2 = 1234\times10^{-2}12.34=1.234×101=0.1234×102=1234×10−2
后面这三种形式都能表示12.34这个数字，尽管它们的小数点位置各不相同，但因为后面乘了不同的10的幂次方，因此最终结果一致。
浮点数的标准形式如下：
N = M \times B^EN=M×B**E
其中，M为尾数，B为基数，E为阶码，这个式子和各个字母的含义已经非常清晰了，直接对照上面12.34这个例子看就好。当然了，12.34这个例子举的是我们最熟悉的十进制，我们计算机中使用的当然是二进制，而根据前面几篇（应该是第一篇）二进制系列文章我们知道，二进制各个位数之间相差2倍，因此，如果要用浮点式表示一个二进制数时，这里的基数B就是2了，譬如：
101.11 = 10.111\times2^1 = 1.0111\times2^2 = 10111\times2^{-2} = 0.10111\times2^3 = 0.010111\times2^4101.11=10.111×21=1.0111×22=10111×2−2=0.10111×23=0.010111×24
非常好理解。有些地方会把阶码E也表示成二进制的形式，譬如2次幂使用10次幂来表示，这个大家根据实际情况辨别即可，核心都是不变的。
通常来说，计算机为了提高数据精度和便于浮点数之间的比较，规定浮点数的尾数M用纯小数表示，即上面二进制101.11的最后两种表示形式。同时，将尾数最高位为1的浮点数称为规格化数，对于101.11来说，倒数第二种形式$0.10111\times2^3$就是它的规格化表示。
2.1 计算机中的浮点数
上面介绍的是浮点数的基本定义，但这是给人类看的，计算机中肯定有其特殊的存储形式，我们直接来看现代计算机的通用国际标准IEEE 754，我们现在在用的计算机基本上都是基于这个标准来存储浮点数的，包括我们熟悉的短浮点数（float）、长浮点数（double），它们俩的表示方法相同，区别仅仅是阶码E和位数M的位数不同：
上图就是浮点数IEEE 754的标准形式了，我们逐个来看：
- 第一个位置是数符，就是表整个数字正负的符号，即
0和1； - 接着是阶码
E，这里的阶码也有正负，并且不用真值来表示，通常会用阶码的真值加上一个偏移量，作为实际存储的偏移值。如在短浮点数float中，这个偏移量为127，即$2^7-1=1111111_{(2)}$。这样做的目的和上一篇文章中我们讲到的移码类似 ，主要是为了比较时更方便。加上偏移量之后，使得原本带符号的阶码E变成了一个无符号数，或者直接理解为去除了符号位对阶码大小的影响，等会儿的例子中我们再来看它的具体表示； - 最后是尾数，这个部分为了提高精度，规定将原数尾数转化为
1.xxxx的形式，以1为默认最高位，然后储存的时候并不储存最高位1，视其为隐藏的，只存储小数点后面的部分，这样可以使尾数表示的精度达到最高，即存储位数最多，比实际位数多一位。
在讲例子之前，我们再来看一下短浮点数（float）和长浮点数（double）在IEEE 754中各个部分的位数：
这就是我们在初学编程语言时，教科书上告诉我们的float是32位，精度没有64位的double高的原因了。尾数代表了精度，而阶码代表了表示范围。
然后我们来看一个例子，以float为例，我们取一个十进制数13.625，它对应的二进制是1101.101，我们来看一下它按照IEEE 754标准转换成float的过程和结果。
首先，将原数写成标准规定的格式，以1为最高整数位：$1101.101 = 1.101101\times2^3$。
然后把整数位1舍弃（隐藏），得到一个纯小数尾数101101。因为float的尾数全长为23位，同时这个尾数是纯小数，因此在当前尾数的后面用0补全，得到真正的尾数1011 0100 0000 0000 0000 000共23位。
接下来是阶码3，先转成二进制11，这是它的真值，再用真值加上$2^7-1$，即0111 1111 + 0000 0011 = 1000 0010，得到的就是一个8位阶码实际存储值。上面我们说过，这里与偏移量相加，是为了便于比较，而相加后的结果可以看做是一个无符号的二进制数，因此它最高位的1并不指代它的正负。如果我们用一个负数的阶码与偏移量相加，就会得到一个最高位0的结果，这样就能直接比较出阶码的大小了。
得到阶码和尾数后，只需要在最高位上添加数符就好了。因为原数是正数，因此数符S为0，最终得到的IEEE 754标准的float浮点数为：
double太长就不写了，原理是一样的，大家如果有兴趣可以自己试着算一算。
